Movendo Média Processo Tempo Série

Os modelos ARIMA são, em teoria, a classe mais geral de modelos para prever uma série de tempo que pode ser feita para ser 8220stationary8221 por diferenciação (se necessário), talvez Em conjunto com transformações não lineares, tais como a desregulação (se necessário). Uma variável aleatória que é uma série de tempo é estacionária se suas propriedades estatísticas são todas constantes ao longo do tempo. Uma série estacionária não tem tendência, suas variações em torno de sua média têm uma amplitude constante, e ele se move de forma consistente. Isto é, os seus padrões de tempo aleatório a curto prazo têm sempre o mesmo aspecto num sentido estatístico. Esta última condição significa que suas autocorrelações (correlações com seus próprios desvios prévios em relação à média) permanecem constantes ao longo do tempo, ou de forma equivalente, que seu espectro de poder permanece constante ao longo do tempo. Uma variável aleatória desta forma pode ser vista (como de costume) como uma combinação de sinal e ruído, eo sinal (se for aparente) poderia ser um padrão de reversão média rápida ou lenta, ou oscilação sinusoidal, ou rápida alternância no sinal , E poderia também ter uma componente sazonal. Um modelo ARIMA pode ser visto como um 8220filter8221 que tenta separar o sinal do ruído, e o sinal é então extrapolado para o futuro para obter previsões. A equação de previsão de ARIMA para uma série de tempo estacionária é uma equação linear (isto é, tipo de regressão) na qual os preditores consistem em atrasos da variável dependente e / ou atrasos dos erros de previsão. Ou seja: Valor previsto de Y uma constante e / ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes de Y e / ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes dos erros. Se os preditores consistem apenas em valores defasados ​​de Y., é um modelo autoregressivo puro (8220 auto-regressado8221), que é apenas um caso especial de um modelo de regressão e que poderia ser equipado com software de regressão padrão. Por exemplo, um modelo autoregressivo de primeira ordem (8220AR (1) 8221) para Y é um modelo de regressão simples no qual a variável independente é apenas Y retardada por um período (LAG (Y, 1) em Statgraphics ou YLAG1 em RegressIt). Se alguns dos preditores são defasagens dos erros, um modelo ARIMA não é um modelo de regressão linear, porque não há maneira de especificar o erro 8222 como uma variável independente: os erros devem ser calculados em base período a período Quando o modelo é ajustado aos dados. Do ponto de vista técnico, o problema com o uso de erros defasados ​​como preditores é que as previsões do modelo não são funções lineares dos coeficientes. Mesmo que sejam funções lineares dos dados passados. Portanto, os coeficientes em modelos ARIMA que incluem erros retardados devem ser estimados por métodos de otimização não-lineares (8220hill-climbing8221) ao invés de apenas resolver um sistema de equações. O acrônimo ARIMA significa Auto-Regressive Integrated Moving Average. Lags das séries estacionalizadas na equação de previsão são chamados de termos quotautorregressivos, os atrasos dos erros de previsão são chamados de quotmoving termos médios e uma série de tempo que precisa ser diferenciada para ser estacionária é dito ser uma versão quotintegrada de uma série estacionária. Modelos de Random-walk e tendência aleatória, modelos autorregressivos e modelos de suavização exponencial são casos especiais de modelos ARIMA. Um modelo ARIMA não sazonal é classificado como um modelo quotARIMA (p, d, q) quot, onde: p é o número de termos autorregressivos, d é o número de diferenças não sazonais necessárias para a estacionaridade e q é o número de erros de previsão defasados ​​em A equação de predição. A equação de previsão é construída como se segue. Em primeiro lugar, vamos dizer a d diferença de Y. o que significa: Note que a segunda diferença de Y (o caso d2) não é a diferença de 2 períodos atrás. Pelo contrário, é a primeira diferença de primeira diferença. Que é o análogo discreto de uma segunda derivada, isto é, a aceleração local da série em vez da sua tendência local. Em termos de y. A equação de previsão geral é: Aqui os parâmetros da média móvel (9528217s) são definidos de modo que seus sinais sejam negativos na equação, seguindo a convenção introduzida por Box e Jenkins. Alguns autores e software (incluindo a linguagem de programação R) definem-los para que eles tenham mais sinais em vez disso. Quando números reais são conectados à equação, não há ambigüidade, mas é importante saber qual convenção seu software usa quando está lendo a saída. Muitas vezes os parâmetros são indicados por AR (1), AR (2), 8230 e MA (1), MA (2), 8230, etc. Para identificar o modelo ARIMA apropriado para Y. você começa por determinar a ordem de diferenciação (D) a necessidade de estacionarizar a série e remover as características brutas da sazonalidade, talvez em conjunto com uma transformação estabilizadora de variância, tal como o desmatamento ou a deflação. Se você parar neste ponto e prever que a série diferenciada é constante, você tem apenas montado uma caminhada aleatória ou modelo de tendência aleatória. No entanto, a série estacionária pode ainda ter erros autocorrelacionados, sugerindo que algum número de termos AR (p 8805 1) e / ou alguns termos MA (q 8805 1) também são necessários na equação de previsão. O processo de determinar os valores de p, d e q que são melhores para uma dada série temporal será discutido em seções posteriores das notas (cujos links estão no topo desta página), mas uma prévia de alguns dos tipos De modelos não-sazonais ARIMA que são comumente encontrados é dada abaixo. ARIMA (1,0,0) modelo autoregressivo de primeira ordem: se a série é estacionária e autocorrelacionada, talvez possa ser predita como um múltiplo de seu próprio valor anterior, mais uma constante. A equação de previsão neste caso é 8230, que é regressão Y sobre si mesma retardada por um período. Este é um modelo 8220ARIMA (1,0,0) constant8221. Se a média de Y for zero, então o termo constante não seria incluído. Se o coeficiente de inclinação 981 1 for positivo e menor que 1 em magnitude (ele deve ser menor que 1 em magnitude se Y estiver parado), o modelo descreve o comportamento de reversão de média no qual o valor do próximo período deve ser 981 vezes 1 Longe da média como valor deste período. Se 981 1 for negativo, ele prevê o comportamento de reversão de média com alternância de sinais, isto é, também prevê que Y estará abaixo do próximo período médio se estiver acima da média neste período. Em um modelo autorregressivo de segunda ordem (ARIMA (2,0,0)), haveria um termo Y t-2 à direita também, e assim por diante. Dependendo dos sinais e magnitudes dos coeficientes, um modelo ARIMA (2,0,0) poderia descrever um sistema cuja reversão média ocorre de forma sinusoidal oscilante, como o movimento de uma massa sobre uma mola submetida a choques aleatórios . Se a série Y não for estacionária, o modelo mais simples possível para ela é um modelo randômico randômico, que pode ser considerado como um caso limitante de um modelo AR (1) em que o modelo autorregressivo Coeficiente é igual a 1, ou seja, uma série com reversão média infinitamente lenta. A equação de predição para este modelo pode ser escrita como: onde o termo constante é a variação média período-período (ou seja, a deriva a longo prazo) em Y. Este modelo poderia ser montado como um modelo de regressão sem interceptação em que o A primeira diferença de Y é a variável dependente. Uma vez que inclui (apenas) uma diferença não sazonal e um termo constante, é classificada como um modelo de ARIMA (0,1,0) com constante. quot O modelo randômico-sem-desvio seria um ARIMA (0,1, 0) sem constante ARIMA (1,1,0) modelo autoregressivo de primeira ordem diferenciado: Se os erros de um modelo de caminhada aleatória são autocorrelacionados, talvez o problema possa ser corrigido adicionando um lag da variável dependente à equação de predição - Eu Pela regressão da primeira diferença de Y sobre si mesma retardada por um período. Isto resultaria na seguinte equação de predição: que pode ser rearranjada para Este é um modelo autorregressivo de primeira ordem com uma ordem de diferenciação não sazonal e um termo constante - isto é. Um modelo ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) sem suavização exponencial simples constante: Uma outra estratégia para corrigir erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória é sugerida pelo modelo de suavização exponencial simples. Lembre-se que para algumas séries temporais não-estacionárias (por exemplo, as que exibem flutuações barulhentas em torno de uma média de variação lenta), o modelo de caminhada aleatória não funciona tão bem quanto uma média móvel de valores passados. Em outras palavras, ao invés de tomar a observação mais recente como a previsão da próxima observação, é melhor usar uma média das últimas observações para filtrar o ruído e estimar com mais precisão a média local. O modelo de suavização exponencial simples usa uma média móvel exponencialmente ponderada de valores passados ​​para conseguir esse efeito. A equação de predição para o modelo de suavização exponencial simples pode ser escrita em um número de formas matematicamente equivalentes. Uma das quais é a chamada 8220error correction8221, na qual a previsão anterior é ajustada na direção do erro que ela fez: Como e t-1 Y t-1 - 374 t-1 por definição, isso pode ser reescrito como : Que é uma equação de previsão ARIMA (0,1,1) sem constante com 952 1 1 - 945. Isso significa que você pode ajustar uma suavização exponencial simples especificando-a como um modelo ARIMA (0,1,1) sem Constante, eo coeficiente MA (1) estimado corresponde a 1-menos-alfa na fórmula SES. Lembre-se que no modelo SES, a idade média dos dados nas previsões de 1 período antecipado é de 1 945, o que significa que tendem a ficar aquém das tendências ou pontos de viragem em cerca de 1 945 períodos. Segue-se que a média de idade dos dados nas previsões de 1 período de um modelo ARIMA (0,1,1) sem constante é de 1 (1 - 952 1). Assim, por exemplo, se 952 1 0,8, a idade média é 5. Quando 952 1 aproxima-se de 1, o modelo ARIMA (0,1,1) sem constante torna-se uma média móvel de muito longo prazo e como 952 1 Aproxima-se 0 torna-se um modelo randômico-caminhada-sem-deriva. Nos dois modelos anteriores discutidos acima, o problema dos erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória foi fixado de duas maneiras diferentes: adicionando um valor defasado da série diferenciada Para a equação ou adicionando um valor defasado do erro de previsão. Qual abordagem é a melhor Uma regra para esta situação, que será discutida em mais detalhes mais adiante, é que a autocorrelação positiva é geralmente melhor tratada pela adição de um termo AR para o modelo e autocorrelação negativa é geralmente melhor tratada pela adição de um MA termo. Nas séries econômicas e de negócios, a autocorrelação negativa muitas vezes surge como um artefato de diferenciação. Portanto, o modelo ARIMA (0,1,1), no qual a diferenciação é acompanhada por um termo de MA, é mais freqüentemente usado do que um modelo de auto-correlação positiva. Modelo ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) com suavização exponencial simples constante com crescimento: Ao implementar o modelo SES como um modelo ARIMA, você realmente ganha alguma flexibilidade. Em primeiro lugar, o coeficiente MA (1) estimado pode ser negativo. Isto corresponde a um factor de suavização maior do que 1 num modelo SES, o que normalmente não é permitido pelo procedimento de ajustamento do modelo SES. Em segundo lugar, você tem a opção de incluir um termo constante no modelo ARIMA se desejar, para estimar uma tendência média não-zero. O modelo ARIMA (0,1,1) com constante tem a equação de predição: As previsões de um período de adiantamento deste modelo são qualitativamente semelhantes às do modelo SES, exceto que a trajetória das previsões de longo prazo é tipicamente uma Inclinada (cuja inclinação é igual a mu) em vez de uma linha horizontal. ARIMA (0,2,1) ou (0,2,2) sem suavização exponencial linear constante: Os modelos lineares de suavização exponencial são modelos ARIMA que utilizam duas diferenças não sazonais em conjunto com os termos MA. A segunda diferença de uma série Y não é simplesmente a diferença entre Y e ela mesma retardada por dois períodos, mas sim é a primeira diferença da primeira diferença - i. e. A mudança na mudança de Y no período t. Assim, a segunda diferença de Y no período t é igual a (Y t - Y t-1) - (Y t-1 - Y t-2) Y t - 2Y t-1 Y t-2. Uma segunda diferença de uma função discreta é análoga a uma segunda derivada de uma função contínua: ela mede a quotaccelerationquot ou quotcurvaturequot na função em um dado ponto no tempo. O modelo ARIMA (0,2,2) sem constante prevê que a segunda diferença da série é igual a uma função linear dos dois últimos erros de previsão: que pode ser rearranjada como: onde 952 1 e 952 2 são MA (1) e MA (2) coeficientes. Este é um modelo de suavização exponencial linear geral. Essencialmente o mesmo que Holt8217s modelo, e Brown8217s modelo é um caso especial. Ele usa médias móveis exponencialmente ponderadas para estimar um nível local e uma tendência local na série. As previsões a longo prazo deste modelo convergem para uma linha recta cujo declive depende da tendência média observada no final da série. ARIMA (1,1,2) sem suavização exponencial linear de tendência amortecida constante. Este modelo é ilustrado nos slides acompanhantes nos modelos ARIMA. Ele extrapola a tendência local no final da série, mas aplana-lo em horizontes de previsão mais longos para introduzir uma nota de conservadorismo, uma prática que tem apoio empírico. Veja o artigo sobre "Por que a tendência de amortecimento" trabalha por Gardner e McKenzie e o artigo de "Rule of Gold" de Armstrong et al. para detalhes. É geralmente aconselhável aderir a modelos nos quais pelo menos um de p e q não é maior do que 1, ou seja, não tente encaixar um modelo como ARIMA (2,1,2), uma vez que isto é susceptível de conduzir a sobre-adaptação E quotcommon-factorquot questões que são discutidas em mais detalhes nas notas sobre a estrutura matemática dos modelos ARIMA. Implementação de planilhas: modelos ARIMA como os descritos acima são fáceis de implementar em uma planilha. A equação de predição é simplesmente uma equação linear que se refere a valores passados ​​de séries temporais originais e valores passados ​​dos erros. Assim, você pode configurar uma planilha de previsão ARIMA armazenando os dados na coluna A, a fórmula de previsão na coluna B e os erros (dados menos previsões) na coluna C. A fórmula de previsão em uma célula típica na coluna B seria simplesmente Uma expressão linear referindo-se a valores nas linhas precedentes das colunas A e C, multiplicadas pelos coeficientes AR ou MA apropriados armazenados em células em outra parte da planilha. Na prática, a média móvel fornecerá uma boa estimativa da média das séries temporais se a A média é constante ou está mudando lentamente. No caso de uma média constante, o maior valor de m dará as melhores estimativas da média subjacente. Um período de observação mais longo medirá os efeitos da variabilidade. A finalidade de fornecer um m menor é permitir que a previsão responda a uma mudança no processo subjacente. Para ilustrar, propomos um conjunto de dados que incorpora mudanças na média subjacente das séries temporais. A figura mostra a série de tempo usada para ilustração juntamente com a demanda média a partir da qual a série foi gerada. A média começa como uma constante em 10. Começando no tempo 21, ele aumenta em uma unidade em cada período até atingir o valor de 20 no tempo 30. Então ele se torna constante novamente. Os dados são simulados adicionando à média um ruído aleatório de uma distribuição Normal com média zero e desvio padrão 3. Os resultados da simulação são arredondados para o inteiro mais próximo. A tabela mostra as observações simuladas usadas para o exemplo. Quando usamos a tabela, devemos lembrar que a qualquer momento, apenas os dados passados ​​são conhecidos. As estimativas do parâmetro do modelo,, para três valores diferentes de m são mostradas juntamente com a média das séries temporais na figura abaixo. A figura mostra a estimativa média móvel da média em cada momento e não a previsão. As previsões mudariam as curvas de média móvel para a direita por períodos. Uma conclusão é imediatamente aparente a partir da figura. Para as três estimativas, a média móvel está aquém da tendência linear, com o atraso aumentando com m. O atraso é a distância entre o modelo ea estimativa na dimensão temporal. Devido ao atraso, a média móvel subestima as observações à medida que a média está aumentando. O viés do estimador é a diferença em um tempo específico no valor médio do modelo eo valor médio predito pela média móvel. O viés quando a média está aumentando é negativo. Para uma média decrescente, o viés é positivo. O atraso no tempo eo viés introduzido na estimativa são funções de m. Quanto maior o valor de m. Maior será a magnitude do atraso e do viés. Para uma série continuamente crescente com tendência a. Os valores de lag e viés do estimador da média são dados nas equações abaixo. As curvas de exemplo não correspondem a essas equações porque o modelo de exemplo não está aumentando continuamente, em vez disso, ele começa como uma constante, muda para uma tendência e, em seguida, torna-se constante novamente. Também as curvas de exemplo são afetadas pelo ruído. A previsão média móvel de períodos no futuro é representada deslocando as curvas para a direita. O atraso e o viés aumentam proporcionalmente. As equações abaixo indicam o atraso e o viés de um período de previsão para o futuro quando comparado aos parâmetros do modelo. Novamente, estas fórmulas são para uma série de tempo com uma tendência linear constante. Não devemos nos surpreender com esse resultado. O estimador da média móvel é baseado no pressuposto de uma média constante, eo exemplo tem uma tendência linear na média durante uma porção do período de estudo. Como as séries de tempo real raramente obedecerão exatamente aos pressupostos de qualquer modelo, devemos estar preparados para tais resultados. Podemos também concluir a partir da figura que a variabilidade do ruído tem o maior efeito para m menor. A estimativa é muito mais volátil para a média móvel de 5 do que a média móvel de 20. Temos os desejos conflitantes de aumentar m para reduzir o efeito da variabilidade devido ao ruído e diminuir m para fazer a previsão mais sensível às mudanças Em média. O erro é a diferença entre os dados reais e o valor previsto. Se a série temporal é verdadeiramente um valor constante, o valor esperado do erro é zero ea variância do erro é composta por um termo que é uma função de e um segundo termo que é a variância do ruído,. O primeiro termo é a variância da média estimada com uma amostra de m observações, assumindo que os dados provêm de uma população com média constante. Este termo é minimizado tornando m o maior possível. Um grande m faz com que a previsão não responda a uma mudança nas séries temporais subjacentes. Para tornar a previsão responsiva às mudanças, queremos que m seja o menor possível (1), mas isso aumenta a variância do erro. A previsão prática requer um valor intermediário. Previsão com o Excel O suplemento de Previsão implementa as fórmulas de média móvel. O exemplo abaixo mostra a análise fornecida pelo add-in para os dados da amostra na coluna B. As primeiras 10 observações são indexadas -9 a 0. Em comparação com a tabela acima, os índices de período são deslocados por -10. As primeiras dez observações fornecem os valores de inicialização para a estimativa e são usadas para calcular a média móvel para o período 0. A coluna MA (10) (C) mostra as médias móveis calculadas. O parâmetro de média móvel m está na célula C3. A coluna Fore (1) (D) mostra uma previsão para um período no futuro. O intervalo de previsão está na célula D3. Quando o intervalo de previsão é alterado para um número maior, os números na coluna Fore são deslocados para baixo. A coluna Err (1) (E) mostra a diferença entre a observação e a previsão. Por exemplo, a observação no tempo 1 é 6. O valor previsto a partir da média móvel no tempo 0 é 11.1. O erro é então -5.1. O desvio padrão eo desvio médio médio (MAD) são calculados nas células E6 e E7, respectivamente.2.1 Modelos de média móvel (modelos MA) Modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autorregressivos ou termos de média móvel. Na Semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de séries temporais para a variável x t é um valor retardado de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo de atraso 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define termos de média móvel. Um termo de média móvel em um modelo de séries temporais é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Vamos (wt desviar N (0, sigma2w)), significando que os w t são identicamente, distribuídos independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de ordem 1, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w pontos thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele inverta os sinais algébricos de valores de coeficientes estimados e de termos (não-quadrados) nas fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar seu software para verificar se sinais negativos ou positivos foram usados ​​para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades Teóricas de uma Série de Tempo com um Modelo MA (1) Observe que o único valor não nulo na ACF teórica é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma ACF de amostra com uma autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para os estudantes interessados, provas destas propriedades são um apêndice a este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. Onde (wt overset N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por Um gráfico deste ACF segue. O gráfico apenas mostrado é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra normalmente não proporciona um padrão tão claro. Usando R, simulamos n 100 valores de amostra usando o modelo x t 10 w t .7 w t-1 onde w t iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de séries temporais dos dados da amostra. Não podemos dizer muito desse enredo. A ACF de amostra para os dados simulados segue. Observamos que a amostra ACF não corresponde ao padrão teórico do MA subjacente (1), ou seja, que todas as autocorrelações para os atrasos de 1 serão 0 Uma amostra diferente teria uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria as mesmas características gerais. Propriedades teóricas de uma série temporal com um modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Note que os únicos valores não nulos na ACF teórica são para os retornos 1 e 2. As autocorrelações para atrasos maiores são 0 . Assim, uma ACF de amostra com autocorrelações significativas nos intervalos 1 e 2, mas autocorrelações não significativas para atrasos maiores indica um possível modelo MA (2). Iid N (0,1). Os coeficientes são 1 0,5 e 2 0,3. Como este é um MA (2), o ACF teórico terá valores não nulos apenas nos intervalos 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações não nulas são: Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, dados de exemplo não vai se comportar tão perfeitamente como a teoria. Foram simulados n 150 valores de amostra para o modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Onde w t iid N (0,1). O gráfico de série de tempo dos dados segue. Como com o gráfico de série de tempo para os dados de amostra de MA (1), você não pode dizer muito dele. A ACF de amostra para os dados simulados segue. O padrão é típico para situações em que um modelo MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos intervalos 1 e 2, seguidos por valores não significativos para outros desfasamentos. Note que devido ao erro de amostragem, a ACF da amostra não corresponde exactamente ao padrão teórico. ACF para Modelos Gerais MA (q) Uma propriedade dos modelos MA (q) em geral é que existem autocorrelações não nulas para os primeiros q lags e autocorrelações 0 para todos os retornos gt q. Não-unicidade de conexão entre os valores de 1 e (rho1) no modelo MA (1). No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. O recíproco 1 1 dá o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. E então use 1 (0,5) 2 para 1. Você obterá (rho1) 0,4 em ambas as instâncias. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. Restringimos modelos MA (1) para ter valores com valor absoluto menor que 1. No exemplo dado, 1 0,5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto 1 10,5 2 não. Invertibilidade de modelos MA Um modelo MA é dito ser inversível se for algébrica equivalente a um modelo de ordem infinita convergente. Por convergência, queremos dizer que os coeficientes de RA diminuem para 0 à medida que avançamos no tempo. Invertibilidade é uma restrição programada em séries temporais de software utilizado para estimar os coeficientes de modelos com MA termos. Não é algo que verificamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA (1) são fornecidas no apêndice. Teoria Avançada Nota. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo invertible. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes têm valores tais que a equação 1- 1 y-. - q y q 0 tem soluções para y que caem fora do círculo unitário. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, traçamos o ACF teórico do modelo x t 10w t. 7w t-1. E depois simularam n 150 valores a partir deste modelo e traçaram a amostra de séries temporais ea amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lags de ACF para MA (1) com theta1 0.7 lags0: 10 cria uma variável chamada lags que varia de 0 a 10. plot (Lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (1) com theta1 0,7) abline (h0) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto Chamado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de plotagem (o terceiro comando) traça defasagens em relação aos valores de ACF para os retornos de 1 a 10. O parâmetro ylab marca o eixo y eo parâmetro principal coloca um título no gráfico. Para ver os valores numéricos do ACF basta usar o comando acfma1. A simulação e as parcelas foram feitas com os seguintes comandos. Xcarima. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 adiciona 10 para fazer a média 10. Padrões de simulação significam 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF para dados de amostras simulados) No Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. E depois simularam n 150 valores a partir deste modelo e traçaram a amostra de séries temporais ea amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 parcela (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, tipoh, ACF principal para MA (2) com theta1 0,5, (X, typeb, main Simulado MA (2) Series) acf (x, xlimc (1,10), x2, MainACF para dados simulados de MA (2) Apêndice: Prova de Propriedades de MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas para propriedades teóricas do modelo MA (1). Quando h 1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 (x) é a expressão anterior x (x) A razão é que, por definição de independência do wt. E (w k w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque w t tem média 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série de tempo, aplique este resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo MA reversível é aquele que pode ser escrito como um modelo de ordem infinita AR que converge de modo que os coeficientes AR convergem para 0 à medida que nos movemos infinitamente para trás no tempo. Bem demonstrar invertibilidade para o modelo MA (1). Em seguida, substitui-se a relação (2) para wt-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z-theta2w) No tempo t-2. A equação (2) torna-se Então substituimos a relação (4) para wt-2 na equação (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z-theta12z theta31w) Se continuássemos Infinitamente), obteríamos o modelo AR de ordem infinita (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z pontos) Observe, no entanto, que se 1 1, os coeficientes multiplicando os desfasamentos de z aumentarão (infinitamente) Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo MA (1) invertible. Infinite Order MA model Na semana 3, bem ver que um modelo AR (1) pode ser convertido em um modelo de ordem infinita MA: (xt - mu wt phi1w phi21w pontos phik1 w dots sum phij1w) Esta soma de termos de ruído branco passado é conhecido Como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos voltando no tempo. Isso é chamado de ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Lembre-se na Semana 1, observamos que um requisito para um AR estacionário (1) é que 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Esta última etapa usa um fato básico sobre séries geométricas que requer (phi1lt1) caso contrário, a série diverge. Navegação